Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawaban

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawaban – Induksi matematika merupakan metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.

Induksi matematika adalah teknik pembuktian yang baku didalam matematika. Induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk menemukan formula.

Prinsip Induksi Matematika

Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.

Langkah Induksi (induction Step): jika P(k) benar,

maka P(k+1)benar, untuk setiap k bilangan asli.

Pada proses pembuktian dengan prinsip Induksi Matematika, untuk langkah awal tidak selalu dipilih untuk n=1, n= 2, dan n= 3, tetapi dapat dipilih sembarang nilai n sedemikian hingga dapat mempermudah supaya langkah awal terpenuhi.

1 – 10 Soal Induksi Matematika dan Jawaban

1. Buktikan bahwa pernyataan dibawah bernilai benar untuk n bilangan asli dan tentukan jumlah tujuh suku pertamannya !

Jawaban : 

Pembuktian : 

Jumlah tujuh suku pertama : 

2. Buktikan bahwa pernyataan dibawah bernilai benar untuk n bilangan asli dan tentukanlah suku kesepuluhnya !

Jawaban : 

Pembuktian : 

suku kesepuluh :

3. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n² adalah . . .

Jawaban : 

(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil  positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah  bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan : 

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah  diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif  pertama adalah n².

4. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 

Jawaban : 

(i) Basis induksi.

Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh: 2⁰ = 2⁰⁺¹ – 1.

Ini jelas benar, sebab 2⁰ = 1 = 2⁰⁺¹ – 1

= 2¹ – 1

= 2 – 1

= 1

(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa  p(n +1) juga benar, yaitu

2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = 2^{(n+1) + 1} – 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = (2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ) + 2ⁿ⁺¹

= (2ⁿ⁺¹ – 1) + 2ⁿ⁺¹ (hipotesis induksi)

= (2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹) – 1

= (2 . 2ⁿ⁺¹) – 1

= 2ⁿ⁺² – 1

_{= 2}(n+1) + 1 _{– 1}

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk  semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … +¹³2ⁿ  = 2ⁿ⁺¹ – 1¾

5. Untuk  tiap  n  ≥  3 jumlah  sudut dalam sebuah poligon dengan n sisi adalah  180(n − 2)°. Buktikan pernyataan ini dengan  induksi matematik.

Jawaban : 

Basis, Untuk nilai n = 3, poligon akan berbentuk segitiga  dengan jumlah sudut 180°. Jumlah sisi sebanyak 3  sehingga 180(3 − 2) = 180°. Jadi untuk n = 3 proposisi  benar

Induksi, Asumsikan bahwa jumlah sudut dalam poligon  dengan n sisi yaitu 180(n − 2)° adalah benar  (hipotesis induksi).

Kita ingin menunjukkan bahwa jumlah sudut poligon yang memiliki n+1 sisi yaitu 180(n − 1)°

Pada gambar diatas dapat ditunjukkan terdapat dua bagian yaitu segitiga P₁P_nP_n+1 dan poligon dengan n sisi Jumlah sudut dalam poligon n sisi menurut asumsi  yaitu 180(n − 2)° dan jumlah sudut di dalam untuk  segitiga yaitu 180◦.

Jadi jumlah sudut dalam dari poligon dengan n + 1 sisi  yaitu 180(n − 2)° + 180° = 180(n − 1)°.

Karena basis dan langkah induksi benar, maka proposisi  di atas terbukti benar.

Baca Juga : Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

6. Buktikan  pernyataan  “Untuk  membayar  biaya  pos sebesar n sen (n ≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar

Jawaban : 

(i) Basis induksi. Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat  digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja.  Ini jelas benar.

(ii) Langkah induksi. Andaikan p(n) benar, yaitu untuk  membayar biaya pos sebesar n (n ≥ 8) sen dapat digunakan  perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus  menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu untuk membayar  biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3  sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan yang perlu  diperiksa:

Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos

senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan  mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah  perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n +  1 sen.

Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3

sen semuanya. Karena n ≥ 8, setidaknya harus digunakan tiga  buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko  3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nil¹a⁸i  perangko n + 1 sen ¾

7. Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika  bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri.  Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2)  dapat  dinyatakan  sebagai  perkalian  dari  (satu  atau  lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

Jawaban : 

Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima  dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah  bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …,  n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan  prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan  bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan  prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

a) Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat  dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan  prima.

Jika  n  +  1  bukan  bilangan  prima,  maka  terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa  sisa. Dengan kata lain,

(n + 1)/ a = b  atau (n + 1) = ab

yang dalam hal ini, 2 ≤ a ≤ b ≤ n. Menurut hipotesis induksi, a dan  b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan  prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian  bilangan prima, karena n + 1 = ab.

Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti  bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan  sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

9. Buktikan 1 + 2 + 3 + … + n = n/2 (n + 1) dengan menggunakan induksi matematika!

Jawaban : 

10. Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif adalah. . .

Jawaban : 

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

      1 = ½ 1 . (1+1) → 1 = 1

Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1)

Untuk n = k+1 berlaku

1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Penyelesaian :

11 – 15 Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawaban

11. Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n² untuk setiap n bilangan bulat positif adalah. . .

Jawaban : 

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

      1 = 1² → 1 = 1

Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k²

Untuk n = k + 1 berlaku

12. Buktikan bahwa N³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif adalah. . .

Jawaban : 

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

      1 = 1³ + 2(1) ^→ 1 = 3 , kelipatan 3

Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k ³ + 2k  = 3x

adib. Untuk n = k + 1 berlaku

(k + 1)³  + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

(k ³ + 3k ² + 3 k+1) + 2k + 2

(k ³ + 2k) + (3k ² + 3k + 3)

(k ³ + 2k) + 3 (k ² + k + 1)

            Induksi

3x + 3 (k ² + k + 1)

3 (x + k ² + k + 1)

Kesimpulan : N ³ + 2n adalah kelipatan 3

Untuk setiap bilangan bulat positif n

13. Buktikan bahwa 2ⁿ > n + 20, untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5 adalah. . .

Jawaban : 

14. Buktikan bahwa 2²ⁿ-1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1 adalah. . .

Jawaban : 

15. Buktikan bahwa setiap bilangan  bulat positif n yang lebih besar atau sama dengan 2 merupakan bilangan prima atau hasil kali beberapa bilangan prima.

Jawaban Soal Induksi Matematika : 

Pembahasan :

Misalkan P(n) adalah proposisi bahwa setiap bilangan  bulat positif n yang lebih besar atau sama dengan 2 merupakan bilangan prima atau hasilkali beberapa bilangan prima.

Basis induksi.

Untuk n = 2, karena 2 adalah bilangan prima, maka pernyataan tersebut benar.

Langkah induksi

Misalkan P(k) benar, yaitu asumsikan bahwa 2,3,…,k dapat dinyatakan sebagai perkalian  (satu atau lebih) bilangan prima (hipotesis induksi), akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga benar, yaitu n+1 juga dapat dinyatakan  sebagai perkalian bilangan prima.

Ada 2 kasus:

Jika k+1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Jika k+1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang habis membagi k+1 tanpa sisa. Dengan kata lain ,

    (k + 1)/a = b   ,atau  (k + 1) = ab       

Yang dalam hal ini, 2 ≤ a ≤  b ≤ k. Menurut hipotesis induksi, a dan b  dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, k+1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena k+1 = ab.

Karena (1) dan (2) benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Sudah selesai membaca dan berlatih Soal Induksi Matematika ini ? Ayo lihat dulu Soal Matematika lainnya

Posting terkait:

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika [Update 50 Butir]

Contoh Soal Lingkaran Kelas 8 SMP dan Jawaban [Update]

65+ Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Jawaban [Update]