Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawaban [+Pembahasan]

Diposting pada

Contoh Soal Induksi Matematika dan Kunci Jawaban – Bank Soal Induksi Matematika dan Kunci Jawaban beserta Pembahasan untuk Siswa. Soal yang telah kami rangkum ini sering keluar dalam ulangan ataupun ujian nasional, jadi insyaallah sangat bermanfaat untuk siswa pelajari.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku didalam matematika. Induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk menemukan formula.

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika memiliki beberapa prinsip, Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli.  Pernyataan P(n)benar jika memenuhi langkah berikut ini:

  • Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.
  • Langkah Induksi (induction Step): jika P(k) benar,
  • maka P(k+1)benar, untuk setiap k bilangan asli.

Pada proses pembuktian dengan prinsip Induksi Matematika, untuk langkah awal tidak selalu dipilih untuk n=1, n= 2, dan n= 3, tetapi dapat dipilih sembarang nilai n sedemikian hingga dapat mempermudah supaya langkah awal terpenuhi.

Contoh Soal Induksi Matematika

1 – 10 Soal Induksi Matematika dan Jawaban Beserta Pembahasannya

1. Buktikan bahwa pernyataan dibawah bernilai benar untuk n bilangan asli dan tentukan jumlah tujuh suku pertamannya !

soal induksi matematika no 1

Jawaban : 

Pembuktian : 

soal induksi matematika no 1-1

Jumlah tujuh suku pertama : 

soal induksi matematika no 1-2

2. Buktikan bahwa pernyataan dibawah bernilai benar untuk n bilangan asli dan tentukanlah suku kesepuluhnya !

soal induksi matematika no 2

Jawaban : 

Pembuktian : 

soal induksi matematika no 2-1

suku kesepuluh :

soal induksi matematika no 2-2

3. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n² adalah . . .

Jawaban : 

(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil  positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah  bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan : 

soal induksi matematika no 3

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah  diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif  pertama adalah .

4. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 

Jawaban : 

(i) Basis induksi.

Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh: 20 = 20+1 – 1.

Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 – 1

= 21 – 1

= 2 – 1

= 1

(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa  p(n +1) juga benar, yaitu

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1

= (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2 . 2n+1) – 1

= 2n+2 – 1

= 2(n+1) + 1 – 1

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk  semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … +132= 2n+1 – 1¾

5. Untuk  tiap  n  ≥  3 jumlah  sudut dalam sebuah poligon dengan n sisi adalah  180(n − 2)°. Buktikan pernyataan ini dengan  induksi matematik.

Jawaban : 

  • Basis, Untuk nilai n = 3, poligon akan berbentuk segitiga  dengan jumlah sudut 180°. Jumlah sisi sebanyak 3  sehingga 180(3 − 2) = 180°. Jadi untuk n = 3 proposisi  benar
  • Induksi, Asumsikan bahwa jumlah sudut dalam poligon  dengan n sisi yaitu 180(n − 2)° adalah benar  (hipotesis induksi).

Kita ingin menunjukkan bahwa jumlah sudut poligon yang memiliki n+1 sisi yaitu 180(n − 1)°

soal induksi matematika no 5

Pada gambar diatas dapat ditunjukkan terdapat dua bagian yaitu segitiga P1PnPn+1 dan poligon dengan n sisi Jumlah sudut dalam poligon n sisi menurut asumsi  yaitu 180(n − 2)° dan jumlah sudut di dalam untuk  segitiga yaitu 180◦.

Jadi jumlah sudut dalam dari poligon dengan n + 1 sisi  yaitu 180(n − 2)° + 180° = 180(n − 1)°.

  • Karena basis dan langkah induksi benar, maka proposisi  di atas terbukti benar.

Baca Juga : Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pilihan Ganda & Kunci Jawaban

6. Buktikan  pernyataan  “Untuk  membayar  biaya  pos sebesar n sen (n ≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar

Jawaban : 

(i) Basis induksi. Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat  digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja.  Ini jelas benar.

(ii) Langkah induksi. Andaikan p(n) benar, yaitu untuk  membayar biaya pos sebesar n (n  8) sen dapat digunakan  perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus  menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu untuk membayar  biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3  sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan yang perlu  diperiksa:

  • Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos

senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan  mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah  perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n +  1 sen.

  • Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3

sen semuanya. Karena n  8, setidaknya harus digunakan tiga  buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko  3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nil1a8i  perangko n + 1 sen ¾

7. Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika  bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri.  Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2)  dapat  dinyatakan  sebagai  perkalian  dari  (satu  atau  lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

Jawaban : 

Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima  dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah  bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …,  n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan  prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan  bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan  prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

  • a) Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat  dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan  prima.
  • Jika  n  +  1  bukan  bilangan  prima,  maka  terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa  sisa. Dengan kata lain,

(n + 1)/ a = atau (n + 1) = ab

yang dalam hal ini, 2 ≤ abn. Menurut hipotesis induksi, a dan  b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan  prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian  bilangan prima, karena n + 1 = ab.

Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti  bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan  sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

 

Untuk menambah wawasan siswa, dalam pengerjaan Soal Induksi Matematika ataupun berhitung dapat download buku gratis melalui link berikut:

Google Drive

Soal Induksi Matematika

Bentuk-bentuk Penerapan Induksi Matematika :

  • Penerapan Induksi matematika pada Barisan bilangan
  • Penerapan Induksi matematika pada Keterbagian
  • Penerapan Induksi matematika pada Ketidaksamaan (ketaksamaan)

Aplikasi induksi matematika dalam masalah kontekstual :

Induksi matematika adalah metode pembuktian suatu pernyataan, kita akan gunakan metode ini untuk membuktikan suatu pernyataan yang ada dalam kehidupan nyata.

Kesimpulan

Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan bulat(asli).

Induksi matematika memiliki beberapa prinsip, Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli.  Pernyataan P(n)benar jika memenuhi langkah berikut ini:

  • Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.
  • Langkah Induksi (induction Step): jika P(k) benar, maka P(k+1)benar, untuk setiap k bilangan asli.

Pembutkian Induksi matematika dapat diterapkan dalam jumlahan barisan bilangan, keterbagian dan ketidaksamaan.

Gambar Gravatar
Assalamualaikum .wr. wb,Selamat Belajar dan Mengerjakan Tugas! ^_^Apabila ada pertanyaan hubungi Fanspage di Facebook fb.com/kimia.space atau email saya shirosora02@gmail.com

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *