Bank Soal Induksi Matematika dan Kunci Jawaban beserta Pembahasan untuk Siswa yang berjumlah 25 butir. Soal yang telah kami rangkum ini sering keluar dalam ulangan ataupun ujian nasional, jadi insyaallah sangat bermanfaat untuk siswa pelajari.

Induksi matematika adalah materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri ilmu yang mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar/salah, ekivalen/ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Selain itu, Induksi matematika juga sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. ( via Wikipedia)

1 – 25 Soal Induksi Matematika dan Jawaban Beserta Pembahasannya

1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

2. Buktikan bahwa

untuk n bilangan asli.

Pembahasan :

3. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

bernilai benar untuk semua n bilangan asli.

Pembahasan :

4. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

Pn : 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2n − 1 ) = n²

bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

Baca Juga : 20+ Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pilihan Ganda & Kunci Jawaban

6. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

7. Tunjukkan bahwa dalam barisan aritmetika berlaku

Sn = ½n ( 2a + ( n − 1 ) b ) , n ≥ 1 , n ∈ N

dengan a dan b berturut-turut adalah suku pertama dan beda/selisih tiap suku yang berdekatan dalam barisan itu.

Pembahasan :

8. Tunjukkan bahwa dalam barisan geometri berlaku

dengan r adalah rasio barisan.

Pembahasan :

9. Buktikan bahwa

untuk semua n ∈ N

Pembahasan :

10. Buktikan bahwa untuk n ∈ N , berlaku

Pembahasan :

Baca Juga : 15+ Soal Persamaan Nilai Mutlak Pilihan Ganda & Jawab [+Pembahasan]

11. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa

1³ + 3³ + 5³ + ⋯ + ( 2n − 1 ) 3 = n² ( 2n² − 1 )

untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

12. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

Pembahasan :

13. Buktikan dengan induksi matematika bahwa persamaan berikut ini benar untuk

Pembahasan :

14. Temukan rumus dengan bukti untuk penjumlahan berikut.

Pembahasan :

15. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

Baca Juga : 20+ Soal Matriks, Determinan, dan Invers Pilihan Ganda [+Pembahasan]

16. Buktikan bahwa

1 + 2 + 2² + 2³ + ⋯ + 2^n = 2^n+1 − 1

untuk setiap n bilangan cacah.

Pembahasan :

17. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n , berlaku

Pembahasan :

18. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n , berlaku

Pembahasan :

19. Buktikan bahwa jika n ∈ N , maka n > 0 .

Pembahasan :

Basis Induksi:

Misalkan

Pn : n > 0 dengan n bilangan asli.

Ambil n = 1 , sehingga didapat P 1 : 1 > 0 . Pernyataan ini jelas benar ( 1 lebih besar dari 0 ). Jadi, P n benar untuk n = 1 . Basis induksi selesai. Langkah induksi: Misalkan P k : k > 0 dengan k bilangan asli. Asumsikan P k benar dan harus ditunjukkan bahwa P k + 1 : k + 1 > 0 juga benar.

Perhatikan bahwa k > 0 (berdasarkan asumsi) menunjukkan k elemen bilangan positif P , atau ditulis k ∈ P . Ini juga sama untuk 1 > 0 , berarti 1 ∈ P . Untuk itu, berdasarkan definisi kepositivan bilangan: Jika a , b ∈ P , maka a + b ∈ P , ini berarti terbukti bahwa k + 1 > 0 . Jadi, dapat disimpulkan bahwa kebenaran P k mengimplikasikan kebenaran P k + 1 . Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P n benar untuk n bilangan asli. ■

20. Buktikan bahwa P n : 2^n > n + 20 bernilai benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5 .

Pembahasan :

Baca Juga : 20+ Soal Fungsi Komposisi dan Invers Pilihan Ganda [+Pembahasan]

21. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n , berlaku

Pembahasan :

22. Jika diberikan a > 1 , buktikan bahwa a n > 1 untuk n bilangan asli.

Pembahasan :

Misal proposisi (yang berbentuk implikasi: jika maka) di atas dinyatakan sebagai P n : Jika a > 1 , maka a n > 1 Ambil n = 1 , sehingga diperoleh P 1 : Jika a > 1 , maka a 1 = a > 1 Pernyataan di atas jelas benar (kesimpulan diambil persis seperti hipotesisnya). Dengan kata lain, P n benar untuk n = 1 . Basis induksi selesai.

Langkah Induksi:

Misalkan n = k , berarti proposisi di atas dapat dinyatakan kembali sebagai P k : Jika a > 1 , maka a k > 1

Asumsikan P k bernilai benar, maka harus ditunjukkan bahwa P k + 1 juga bernilai benar, dengan

P k + 1 : Jika a > 1 , maka a k + 1 > 1

Terdapat suatu teorema (dalam bidang kajian Analisis Real) yang menyatakan bahwa bila a > b dan x > y , maka a x > b y untuk a , b , x , y ∈ R .

Diketahui bahwa a > 1 dan juga dari asumsi bahwa a k > 1 . Dengan menggunakan teorema tersebut, didapat

a . a k > 1 × 1 ⇔ a k + 1 > 1

Jadi, kita dapatkan a k + 1 > 1 . Dengan kata lain, P k + 1 bernilai benar. Ini berarti, kebenaran P k mengimplikasikan kebenaran P k + 1 . Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P n benar untuk setiap n bilangan asli.

23. Diketahui 0 < a < 1 . Buktikan 0 < a n < 1 untuk n bilangan bulat positif.

Pembahasan :

Misal proposisi (yang berbentuk implikasi: jika maka) di atas dinyatakan sebagai P n : Jika 0 < a < 1 , maka 0 < a n < 1 Ambil n = 1 , sehingga diperoleh P 1 : Jika 0 < a < 1 , maka 0 < a 1 = a < 1 Pernyataan di atas jelas benar (kesimpulan diambil persis seperti hipotesisnya).

Dengan kata lain, P n benar untuk n = 1 . Basis induksi selesai. Langkah Induksi: Misalkan n = k , berarti proposisi di atas dapat dinyatakan kembali sebagai

P k : Jika 0 < a < 1 , maka 0 < a k < 1

Asumsikan P k bernilai benar, maka harus ditunjukkan bahwa P k + 1 juga bernilai benar, dengan

P k + 1 : Jika 0 < a < 1 , maka 0 < a k + 1 < 1

Terdapat suatu teorema (dalam bidang kajian Analisis Real) yang menyatakan bahwa bila

0 < a < b dan 0 < x < y , maka 0 < a x < b y

untuk a , b , x , y ∈ R .

Diketahui bahwa 0 < a < 1 dan juga dari asumsi bahwa 0 < a k < 1 . Dengan menggunakan teorema tersebut, didapat

0 < a . a k < 1 × 1 ⇔ 0 < a k + 1 < 1

Jadi, kita dapatkan 0 < a k + 1 < 1 . Dengan kata lain, P k + 1 bernilai benar. Ini berarti, kebenaran P k mengimplikasikan kebenaran P k + 1 . Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P n benar untuk setiap n bilangan asli.

24. Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa

Pembahasan :

25. Sebuah ATM (Automated Teller Machine) hanya menyediakan pecahan uang Rp20.000,00 dan Rp50.000,00. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut? Buktikan dengan induksi matematika.

Pembahasan :

Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah membentuk model matematika yang sesuai dengan kasus tersebut. Misalkan a = 20000 x + 50000 y untuk setiap x , y bilangan cacah, di mana x , y masing-masing menyatakan banyaknya uang pecahan Rp20.000,00 dan Rp50.000,00. Sekarang, perhatikan bahwa

20000 x + 50000 y = 10000 ( 2 x + 5 y )

= 10000 ( 2 ( x + y ) + y )

Dari bentuk terakhir, dapat dilihat bahwa 2 ( x + y ) (suku pertama) adalah genap, sedangkan y (suku kedua) bisa bernilai genap/ganjil tergantung nilainya sendiri. Untuk itu, 2 ( x + y ) + y dapat bernilai bilangan cacah (0,1,2,3, dan seterusnya). Jadi, dapat ditulis secara matematis,

20000 x + 50000 y = 10000 n

Selanjutnya, kita akan melakukan induksi terhadap variabel n . Untuk n = 1 atau n = 3 , tak akan ditemukan x , y yang membuat persamaan itu bernilai benar. Tetapi, untuk n = 2 , ditemukan x = 1 dan y = 0 agar persamaan itu benar. Bila dilanjutkan untuk n ≥ 4 , kita akan menemukan bahwa selalu ditemukan pasangan nilai ( x , y ) yang memenuhi persamaan ini. Dengan kata lain, kita perlu menunjukkan bahwa Rp 10.000 , 00 adalah kelipatan uang yang dapat dikeluarkan ATM itu. Untuk membuktikan ini, perlu dilakukan proses induksi sebagai berikut.

Basis Induksi:

Misalkan P n : 20000 x + 50000 y = 10000 n , n ≥ 4 .

Pernyataan matematis di atas dapat disederhanakan menjadi P n : 2 x + 5 y = n , n ≥ 4 . Untuk n = 4 , didapat P 4 : 2 x + 5 y = 4 . Pasangan ( x , y ) = ( 2 , 0 ) memenuhi persamaan itu, sehingga P 4 bernilai benar untuk x , y demikian. Basis induksi selesai.

Untuk menambah wawasan siswa, dalam pengerjaan Soal Induksi Matematika ataupun berhitung dapat download buku gratis melalui link berikut:

Google Drive

This post was last modified on Februari 19, 2020 7:14 am